std::sph_legendre, std::sph_legendref, std::sph_legendrel

 
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数学特殊函数
 
定义于头文件 <cmath>
double      sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, double t );

float       sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, float t );
long double sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, long double t );
float       sph_legendref( unsigned l, unsigned m, float t );

long double sph_legendrel( unsigned l, unsigned m, long double t );
 (1) (C++17 起)
double      sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, IntegralType t );
 (2) (C++17 起)
1) 计算 l 次、 m 阶和极角 t 的球关联勒让德函数。
2) 接受任意整数类型参数的重载集或函数模板。等价于将参数转型到 double 后的 (1) 。

参数

l - 次数
m - 阶数
t - 极角，以弧度度量

返回值

若无错误发生，则返回 l 、 m 和 t 的球关联勒让德函数（即 ϕ = 0 下的球谐函数）的值，其中球谐函数定义为 Ym
l(t,ϕ) = (-1)m
[
(2l+1)(l-m)!
4π(l+m)!
]1/2
Pm
l(cost)eimϕ
 ，其中 Pm
l(x) 为 std::assoc_legendre(l,m,x)) 且 |m|≤l

注意此函数定义包含 Condon-Shortley 相位项 (-1)m
 ，因为以 std::assoc_legendre 定义的 Pm
l 忽略了它。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误。

  • 若参数是 NaN ，则返回 NaN 且不报告定义域错误
  • 若 l≥128 ，则行为是实现定义的

注意

不支持 C++17 ，但支持 ISO 29124:2010 的实现会提供此函数，若实现定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

球谐函数的一种实现 可用于 boost.math ，且它在以设为零的参数 phi 调用时规约到此函数。

示例

运行此代码
#include <cmath>
#include <iostream>
int main()
{
    // 对于 l=3, m=0 的点检查
    double x = 1.2345;
    std::cout << "Y_3^0(" << x << ") = " << std::sph_legendre(3, 0, x) << '\n';
 
    // 准确解
    double pi = std::acos(-1);
    std::cout << "exact solution = "
              << 0.25*std::sqrt(7/pi)*(5*std::pow(std::cos(x),3)-3*std::cos(x))
              << '\n';
}

输出： 

Y_3^0(1.2345) = -0.302387
exact solution = -0.302387

外部链接

Weisstein, Eric W. “球谐”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource 。

参阅

(C++17)(C++17)(C++17)
 连带勒让德多项式
(函数)